Что такое ТМОГИ

16.05.2022

Теория математической обработки геодезических измерений.

Понятия и определения.

Измерения и наблюдения.

Каждый набор наблюдений называют выборкой. В результате наблюдений получают ограниченное число (n) значений случайной величины – это называется случайная выборка. Число n называют объёмом выборки. В зависимости от объема выборки применяются два метода обработки:

1. Метод индивидуальной обработки основан на применении формул теории вероятности. Его применяют тогда, когда объем наблюдений n < 50. Когда n > 50, применяется

2. Групповой метод обработки (в этом курсе не рассматривается).

Неисправленный результат наблюдения — результат наблюдения до введения поправок с целью устранения систематических погрешностей.

Исправленный результат наблюдения — результат наблюдения, получаемый после внесения поправок в неисправленный результат наблюдения.

Группа результатов наблюдений — совокупность результатов наблюдений, полученная при условиях, которые в соответствии с целью измерения необходимы для получения результата измерения с заданной точностью.

Неисправленный результат измерения — среднее арифметическое результатов наблюдений до введения поправок с целью устранения систематических погрешностей.

Исправленный результат измерений — результат измерения, получаемый после внесения поправок в неисправленный результат измерения.

Основными характеристиками измерений являются: 1) принцип, 2) метод, 3) погрешность, 4) точность, 5) правильность и 6) достоверность измерений.

1. Принцип измерений – это физическое явление или совокупность явлений, составляющих основу измерений. Например, определение массы тела взвешиванием основано на использовании пропорциональности массы (m) и силы тяжести (F_Т).

2. Метод измерений – совокупность приёмов использования принципов и средств измерений. Метод измерений представляет собой обязательный порядок действий, определяющий данный тип измерений независимо от принципа действия.

3. Погрешность измерений – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

4. Точность измерений – характеристика измерений, отражающая близость их результатов к истинному значению измеряемой величины.

5. Правильность измерений – качество измерений, отражающее близость к нулю систематической погрешности.

6. Достоверность измерений – степень доверия к результатам измерений. Измерения, для которых известны вероятностные характеристики отклонения результатов от истинного значения, относятся к категории достоверных.

Наряду с основными характеристиками измерений применяются понятия сходимости и воспроизводимости измерений. Сходимость измерений отражает близость друг к другу результатов измерений, выполненных в одинаковых условиях. Воспроизводимость измерений отражает близость друг к другу результатов измерений, выполненных при различных условиях (в разное время, в разных местах и т. д.).

Метод геодезических измерений – это совокупность приемов использования технологических принципов и технических средств измеренийгеодезических величин. В качестве геодезических величин выступают физические величины, значения которых определяются в результате выполнения геодезических измерений, а именно: длина линии (стороны); горизонтальный угол; вертикальный угол (зенитное расстояние или угол наклона); азимут; превышение; высота (отметка); координаты (приращения координат) точки.

Одна из главных задач измерений в процессе производства геодезических работ состоит не только в получении результата измерений, но и в оценке его достоверности. Этой задаче подчинена технология геодезических работ, обязательным условием построения которой является наличие избыточных измерений, обеспечивающих не только контроль работ, но и возможность количественной оценки их качества и надежности. Непосредственной целью измерений является определение истинных значений постоянной или изменяющейся измеряемой величины.

Результат измерений является реализацией случайной величины, равной сумме истинного значения измеряемой величины и погрешности-ошибки измерений. Чтобы узнать истинное значение измеряемой величины, нужно найти и исключить ошибки измерений.

Как правило, истинное значение измеряемой физической величины мы не знаем и никогда не узнаем, следовательно, и погрешность измерения мы не знаем и никогда не узнаем. Однако погрешность измерения можно охарактеризовать и оценить.

Происхождение ошибок измерений — объективное, закономерности их возникновения и действия изучаются в теории ошибок измерений и во всех геодезических дисциплинах; в геодезии это называется ТМОГИ — теория математической обработки геодезических измерений.

Теория ошибок решает следующие основные задачи:

Изучение законов распределения ошибок наблюдений.
Оценка точности непосредственно полученных результатов наблюдений и их функций.
Отыскание наиболее надежного значения определяемой величины и характеристики точности.
Установление допусков, ограничивающих использование результатов наблюдений в заданных пределах точности.

Ошибки подразделяются на грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки — это промахи (ляпы) в измерениях, вызванные невнимательностью наблюдателя, неисправностью инструмента или неучётом влияния внешней среды, которое не является пренебрегаемо малым. По своей природе промах − это случайная ошибка, но появляется она настолько редко, что её нельзя оценить, используя стандартные алгоритмы статистической обработки, и приходится применять свои особые методы. Их выявляют при обработке результатов измерений и исключают из рассмотрения, пользуясь определёнными правилами. Задача наблюдателя состоит в надлежащей организации контроля работ с целью своевременного устранения грубых ошибок из результатов измерений.

Систематические ошибки — происходят от определенного источника и имеют определенные знак и величину. Влияние такого рода ошибок может быть выражено функцией, связывающей результат измерений с каким-либо физическим фактором (например, с температурой). Систематические ошибки повторяются из опыта в опыт, от наблюдения к наблюдению, и имеют одно и то же значение. Из них можно выделить: поправки (уточняющие теорию, постоянные воздействия, и т.п.), неизвестного происхождения (недостаточно разработанная теория, сложный эксперимент) и, наконец, класс точности приборов. Чаще всего класс точности приборов считается основным источником систематических ошибок. Здесь задача наблюдателя состоит в том, чтобы исключить основную часть систематических ошибок из результатов измерений, а остаточное их влияние свести к пренебрегаемо малым величинам.

Случайные ошибки — ошибки измерений, закономерности которых проявляются в массе, и которые обусловлены точностью инструмента, квалификацией наблюдателя, неучтенными колебаниями внешних условий. Если систематическая ошибка может быть исключена из единичного измерения, то случайные ошибки, поскольку они являются одним из наиболее ярких примеров случайной величины, и их закономерности обнаруживаются только в массовом проявлении, — не могут быть устранены из единичного измерения. Их влияние можно лишь ослабить, повышая качество и количество измерений, а также надлежащей математической обработкой результатов измерений. Под величиной случайной ошибки имеют в виду разность между наблюдённым значением случайной величины и её истинным (точным) значением при условии исключения систематических ошибок.

Причин возникновения случайных ошибок измерений много: влияние внешних условий, неточности изготовления и юстировки приборов, неточности выполнения операций наблюдателем и т.д. Очевидно, что случайные ошибки являются результатом суммирования большого числа независимых элементарных ошибок. На основании центральной предельной теоремы Ляпунова можно считать, что случайные ошибки измерений подчиняются нормальному закону распределения (закону Гаусса): F(x) = (1/σ√2π)∙e^-(^x^—^x₀^)/2^σ², здесь х – случайная величина, х₀ – истинное или среднее значение (или математическое ожидание m_x), σ — среднее квадратичное отклонение.

Закон распределения Гаусса отражает следующие положения теории случайных погрешностей:

1) случайные погрешности обоих знаков встречаются одинаково часто;

2) меньшие случайные погрешности встречаются чаще, чем большие;

3) очень большие погрешности маловероятны.

Закон распределения Гаусса является типичным статистическим законом. Он подергался многократным экспериментальным проверкам, которые показали, что этот закон выполняется тем точнее, чем больше проведено наблюдений. Закон Гаусса имеет основополагающее значение для разработки критериев оценок точности измерений, а также при обработке результатов физических измерений.

Понятие о центральной предельной теореме.

Теорема, устанавливающая условия, при которых возникает нормальный закон, как предельный закон, известна в теории вероятностей под названием «центральной предельной теоремы», или теоремы А.М. Ляпунова.

Теорема Ляпунова может быть сформулирована так: если некоторая случайная величина есть сумма достаточно большого числа других случайных независимых величин, отклоняющихся от своих математических ожиданий на малые величины по сравнению с отклонением суммарной величины, то закон распределения этой суммарной случайной величины будет близок к нормальному. Теорема Ляпунова имеет большое значение для теории ошибок измерений. Можно полагать, что основные требования центральной предельной теоремы выполняются в отношении природы образования случайных ошибок измерений. В классической теории ошибок измерений принимают следующие два постулата:

1. считают, что при любых измерениях грубые ошибки отсутствуют, основная часть систематических ошибок исключена из результатов измерений, а остаточные систематические ошибки ничтожно малы, т.е. измерения сопровождаются только случайными ошибками Δ = х_i – X, (где х_i — результат измерений, Х — истинное значение измеряемой величины). Очевидно, что M(Δ) = 0, а M(х) = X, — центр распределения случайной величины х_i совпадает с истинным значением величины Х, то есть с её математическим ожиданием M(х) = X;

2. полагают также, что случайные ошибки измерений подчиняются нормальному закону распределения.

Примечание (8.207—ГОСТ—76): При числе результатов наблюдений n ≤ 15 принадлежность их к нормальному распределению не проверяют.

Ошибки абсолютные и относительные.

Абсолютная погрешность (абсолютная ошибка) измерения – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Относительная погрешность (относительная ошибка) измерения – отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины X (если X неизвестно, его заменяют результатом измерения x). Относительную ошибку обычно выражают в виде дроби с числителем, равным 1, например: 1/m. Часто она выражается также в процентах.

Абсолютная ошибка измеряемой величины x имеет размерность величины x. Относительная ошибка вводится для оценки качества измерения; она, очевидно, безразмерна.

Поскольку мы никогда не знаем значения физической величины, значение абсолютной и относительной погрешностей нам также неизвестны. Под самой физической величиной понимают её наиболее вероятное значение, а под абсолютной и относительной погрешностями – их наиболее вероятные оценки.

В случае наличия серии прямых физических измерений за наиболее вероятное значение принимается среднее арифметическое значение.

По точности геодезические измерения различаются в широком диапазоне: относительная погрешность от 1-3*10^-3 до 0,5-2*10^-6. В топографо-геодезическом производстве точность измерений определяют классом выполняемых работ: ходы 1, 2 разрядов и повышенной точности.

Принято также измерения делить на: высокоточные, точные (средней точности), технические (малой точности), что связано с типом применяемых средств измерений. С классификацией измерений по точности тесно связаны понятия равноточные и неравноточные измерения.

В зависимости от количества (объема) получаемой информации геодезические измерения подразделяют на необходимые и избыточные. При необходимых измерениях располагают количеством измерений, достаточным для (однократного) однозначного нахождения значения геодезической величины. Избыточными называют измерения, выполненные сверх необходимого их количества. Наличие избыточных измерений является принципиальной особенностью геодезических измерений. Это позволяет не только повысить надежность результатов измерений, но и оценить их точность. Необходимыми называют величины, которые нужно знать (измерить), чтобы однократно найти значения искомых величин. Например, чтобы найти все шесть элементов плоского треугольника, необходимо измерить три его элемента, в числе которых была бы, по крайней мере, одна сторона. При математической обработке геодезических измерений необходимые величины называют необходимыми неизвестными (или параметрами).

Необходимые неизвестные, как и необходимые измеренные величины, можно выбирать, руководствуясь тем, чтобы последующие вычисления были возможно более простыми. Между необходимыми величинами никаких математических соотношений существовать не может.

Избыточными называют величины, измеренные сверх необходимых. Избыточно измеренные величины в геодезических построениях — засечки, ходы, сети — позволяют многократно находить значения искомых величин. Каждая избыточно измеренная величина непременно влечет появление математических соотношений между измеренными величинами. В этих соотношениях при подстановке в них измеренных значений величины, из-за неизбежных малых ошибок измерений будут возникать невязки.

Избыточные измерения позволяют обнаруживать промахи и просчёты, судить о точности измерений и найденных значений искомых величин.

На практике все величины всегда измеряются многократно, и в геодезических сетях всегда предусматриваются обязательные измерения избыточных величин. Поэтому в практике геодезических вычислений возникает и более общая задача — задача совместной обработки измерений, выполненных для определения не одной, а многих неизвестных величин. Получение наиболее надежных значений этих величин и их оценка точности составляют задачу т.н. уравнительных вычислений (уравнивания). Уравнивание выполняют по методу наименьших квадратов (МНК), согласно которому измеренные величины получают поправки v, удовлетворяющие условию [pv²] = min, гдеp — вес измерения. Карлом Гауссом и русским математиком А. Марковым доказано, что этот принцип приводит к наилучшим результатам для искомых неизвестных: они, при условии отсутствия систематических ошибок в измерениях, являются несмещёнными и обладают минимальной дисперсией (теория Гаусса-Маркова). Это утверждение справедливо и для любых функций уравненных неизвестных.

Задача уравнивания возникает именно потому, что число измерений n в геодезических построениях всегда больше числа необходимых неизвестных k, для определения которых и выполняют работы. Наличие избыточных измерений, число которых r = n — k, позволяет:

— выполнить контроль измерений,

— оценить их точность, и

— повысить точность уравненных неизвестных и их функций.

Погрешности вычислений.

При проведении расчётов приходится обычно работать с приближёнными числами. Математические действия над приближёнными значениями величин называются приближёнными вычислениями. При этом важно уметь оценивать точность полученных результатов. Погрешность получившегося результата зависит от многих причин. Погрешности, встречающиеся при расчётах, могут быть в основном подразделены на пять групп.

1. Погрешности, связанные с самой постановкой задачи. Математические модели отображают реальные явления с некоторой погрешностью, так как в процессе исследования приходится принимать некоторые упрощающие задачу предположения. Такие погрешности называют погрешностями задачи.

Иногда бывает и так, что решить задачу в точной постановке трудно или даже невозможно. Тогда её заменяют некоторой приближённой задачей. При этом возникает погрешность, которую можно называть погрешностью метода.

2. Погрешности, связанные с наличием бесконечных процессов в математическом анализе. Функции, применяемые в формулах, часто задаются

в виде бесконечных последовательностей или рядов. Многие уравнения можно решить, лишь описав бесконечные процессы, пределы которых и являются искомыми решениями. Так как бесконечный процесс, вообще говоря, не может быть завершён за конечное число шагов, то мы вынуждены остановиться на некотором члене последовательности, считая его приближением к искомому решению. Понятно, что такой обрыв процесса вызывает погрешность, которую называют обычно остаточной погрешностью.

3. Погрешности, связанные с наличием в расчётных зависимостях числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближённо. Таковы, например, все физические константы, или результаты, получаемые при использовании всевозможных приборов. Такие погрешности называют начальными или неустранимыми.

4. Погрешности, связанные с системой исчисления или с конечностью разрядов чисел, используемых при вычислениях, называют погрешностью округления. Справа от запятой может быть бесконечное число цифр (например, может получиться бесконечная десятичная периодическая дробь). При вычислениях, очевидно, можно использовать лишь конечное число этих цифр. Приходится округлять также промежуточные и конечные результаты, если число значащих цифр в них больше, чем позволяет разрядность вычислительной машины. Так возникает погрешность округления.

5. Погрешности, связанные с действиями над приближёнными числами (погрешности действий). Понятно, что производя вычисления с приближёнными числами, погрешности исходных данных в какой-то мере мы переносим в результат вычислений. Конечно, при решении конкретной задачи те или иные погрешности иногда отсутствуют, или же влияние их ничтожно. Но, вообще говоря, для полного анализа погрешностей следует учитывать все их виды.

Запись приближённых чисел, т.е. приближённых численных значений величин, производится так, чтобы сам вид записи говорил о степени точности. Обычно их записывают так, что все цифры верны, кроме последней, сомнительной, в которой допускается ошибка не больше чем на единицу. К примеру, в равенствах R=100.35Ω и R=100.3500Ω для сопротивления есть огромная разница, поскольку эти записи свидетельствуют, что первое вычисление производилось с точностью до 0.01, а второе − до 0.0001Ω.

Округление результатов физических измерений начинается с погрешности.

Абсолютная погрешность Δх округляется до одной значащей цифры, если эта цифра больше 3, и до двух значащих цифр во всех остальных случаях (то есть, если эта цифра 1, 2 или 3). Например, если Δх = 0,523, то погрешность после округления содержит одну значащую цифру: Δх = 0,5. Если Δх = 0,123, то в результате округления погрешность содержит две значащие цифры: Δх = 0,12.

Знáчащими цифрами числá называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащие цифры нумеруются слева направо. Например, в числах α = 0.03045, α = 0.0304500 значащими цифрами являются подчёркнутые цифры. Число значащих цифр в первом случае равно 4, во втором 6. Значащую цифру называют верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре, или верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Округление к ближайшему целому.

Округление к ближайшему целому — наиболее часто используемое округление, при котором число округляется до целого, модуль разности с которым у этого числа минимален. В общем случае, когда число в десятичной системе округляют до N-го знака, правило может быть сформулировано следующим образом: если N+1 знак < 5, то N-й знак сохраняют, а N+1 и все последующие обнуляют; если N+1 знак ≥ 5, то N-й знак увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие обнуляют.

Например: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3. Максимальная дополнительная абсолютная погрешность, вносимая при таком округлении (погрешность округления), составляет ±0,5 последнего сохраняемого разряда.

Но округление строго половины – к ближайшему чётному: 2,50 → 2; 5,50 → 6. Есть, правда, варианты.

Варианты округления 0,5 к ближайшему целому.

Отдельные правила округления существуют для специального случая, когда (N+1)-й знак = 5, а последующие знаки равны нулю («строгая» половина). Если во всех остальных случаях округление до ближайшего целого обеспечивает меньшую погрешность округления, то данный частный случай характерен тем, что для однократного округления формально безразлично, производить его «вверх» или «вниз» — в обоих случаях вносится погрешность ровно в 1/2 младшего разряда. Существуют следующие варианты правила округления до ближайшего целого для данного случая:

Математическое округление (описано выше) — округление всегда в бо́льшую по модулю сторону (предыдущий разряд всегда увеличивается на единицу).

Округление до ближайшего чётного (в английском языке известно под названием banker’s rounding — «округление банкира») — округление для этого случая происходит к ближайшему чётному числу, то есть 2,5 → 2; 3,5 → 4.

Случайное округление — округление происходит в меньшую или большую сторону в случайном порядке, но с равной вероятностью (может использоваться в статистике).

Чередующееся округление — округление происходит в меньшую или большую сторону поочерёдно.

Во всех вариантах в случае, когда (N+1)-й знак не равен 5 или последующие знаки не равны нулю, округление происходит по обычным правилам: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Математическое округление просто формально соответствует общему правилу округления. Его недостатком является то, что при округлении большого числа значений, которые далее будут обрабатываться совместно, может происходить накопление ошибки округления. Типичный пример: округление до целых рублей денежных сумм, выражаемых в рублях и копейках. В реестре из 10 000 строк (если считать копеечную часть каждой суммы случайным числом с равномерным распределением, что обычно вполне допустимо) окажется в среднем около 100 строк с суммами, содержащими в части копеек значение 50. При округлении всех таких строк по правилам математического округления «вверх» сумма «итого» по округлённому реестру окажется на 50 рублей больше точной. Три остальных варианта как раз и придуманы для того, чтобы уменьшить общую погрешность суммы при округлении большого количества значений. Округление «до ближайшего чётного» исходит из предположения, что при большом числе округляемых значений, имеющих 0,5 в округляемом остатке, в среднем половина из них окажется слева, а половина — справа от ближайшего чётного, таким образом, ошибки округления взаимно погасятся. Строго говоря, предположение это верно лишь тогда, когда набор округляемых чисел обладает свойствами случайного ряда, что обычно верно в бухгалтерских приложениях, где речь идёт о ценах, суммах на счетах и так далее. Если же предположение будет нарушено, то и округление «до чётного» может приводить к систематическим ошибкам. Для таких случаев лучше работают два следующих метода.

Два последних варианта округления гарантируют, что примерно половина специальных значений будет округлена в одну сторону, половина — в другую. Но реализация таких методов на практике требует дополнительных усилий по организации вычислительного процесса. Округление в случайную сторону требует для каждой округляемой строки генерировать случайное число. При использовании псевдослучайных чисел, создаваемых линейным рекуррентным методом, для генерации каждого числа требуется операция умножения, сложения и деления по модулю, что для больших объёмов данных может существенно замедлить расчёты. Чередующееся округление требует хранить флаг, показывающий, в какую сторону последний раз округлялось специальное значение, и при каждой операции переключать значение этого флага.

Правила оценки предельных погрешностей при выполнении операции над приближёнными числами:

1. При сложении или вычитании чисел их абсолютные погрешности складываются. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей слагаемых, на практике принимается наибольшее значение.

2. При умножении или делении чисел друг на друга их относительные погрешности складываются. При возведении в степень приближённого числа его относительная погрешность умножается на показатель степени.

Критерии точности измерений.

Основным и наилучшим критерием точности результатов измерений является средняя квадратическая ошибка m — оценка среднего квадратического отклонения. Известно, что мерой разброса случайной величины вблизи центра распределения служат: её дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

По определению среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии: σ = √D, а D = Σ(х-х₀)²/n. Дисперсия D характеризует отклонение случайной величины от их общего среднего, и тем самым дает оценку общей надежности наблюдательного материала. Если результат отдельного измерения физической величины X есть нормально распределённая случайная величина, то, проводя измерения n раз, и, используя в качестве оценки истинного значения выборочное среднее в X, вычисленное по всем n измерениям, мы уменьшаем погрешность измерений в n раз.

Предельной ошибкой Δпред называют такую ошибку, больше которой в ряде измерений ошибок не должно быть. В качестве предельных выбирают величины, определяемые по правилу: Δпред=2m (для практических целей) и Δпред=3m (для исследовательских работ). Введение понятия предельной ошибки позволяет исключать из обработки результаты измерений с грубыми ошибками.

О точности вычислений.

Точность обработки числового материала должна быть согласована с точностью самих измерений. Вычисления, проведенные с бóльшим числом знаков, чем это необходимо, создают ложное впечатление о большой точности измерений. В то же время не следует ухудшать результаты измерений, грубо округляя измерения. Во всех случаях необходимо придерживаться правила: ошибка, получающаяся в результате вычислений должна быть на порядок (т.е. в 10 раз) меньше общей ошибки измерений.

Относительная погрешность всегда округляется до двух значащих цифр. И последнее. При расчёте необходимо оставлять (переписывать с калькулятора) минимум на один порядок больше, чем будет произведено последующее округление.